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中國科大陳秀雄團隊成功證明凱勒幾何兩大核心猜想

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2022

2022年1月14日19時

2021年11月02日 10:37

科學報綜合

  來源|中國科學技術大學

  領域裏程碑

  中國科學技術大學幾何物理中心創始主任陳秀雄教授與合作者程經睿在偏微分方程和複幾何領域取得「裏程碑式結果」,他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程,成功證明「強制性猜想」和「測地穩定性猜想」這兩個國際數學界60多年懸而未決的核心猜想,解決了若幹有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。兩篇論文日前發表於國際著名刊物《美國數學會雜志》。

  凱勒流形上常標量曲率度量的存在性,是過去60多年來幾何中的核心問題之一。關於其存在性,有三個著名猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。穩定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想,由著名華裔數學家丘成桐於20世紀90年代提出,並由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。經過近20年眾多著名數學家的工作,強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性已變得完全清晰,但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認為遙不可及,就如同不帶任何裝備攀登高峰一般艱難。

  求出一類四階完全非線性橢圓方程的解,就能證明常標量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強制性或測地穩定性的假設下,證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難,長期以來業內專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。在陳-程的工作前,對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實現了陳秀雄教授提出的新的連續參數的策略。

  專家認為,求解一類四階完全非線性橢圓方程,此前就如同一塊無形的幕牆擋在數學家面前,陳-程的工作就是在幕牆上「掏了一個洞」,在毫無征兆的情況下找到一個突破口,不僅求出了方程的解,而且建立了一套系統研究此類方程的方法,為探索未知的數學世界提供了一種新工具。

  此外,他們還給出了環對稱凱勒流形上穩定性猜想的證明,將唐納森在環對稱凱勒曲面上的經典定理推廣到了高維,並對一般穩定性猜想的證明提出可能的解決方案,讓一般穩定性猜想的完全解決成為可能。

  審稿人評價,「陳-程的突破性工作原創性極高、技術艱深,不僅解決了凱勒幾何中重大難題,也為此類非線性方程提供了深刻的洞見。可以預見,這一系列論文將成為幾何與偏微分方程領域的經典之作。」英國皇家科學院院士、Fields獎和首屆數學突破獎得主西蒙·唐納森爵士認為,他們的工作已經提供了眾多常標量曲率凱勒度量的新例子,毫無疑問將成為完全認識這個問題的基礎。美國科學院院士布萊恩·勞森教授表示,陳和程最近的系列論文令人驚歎,誠為該領域裏一個實質性的突破。

  論文鏈接:

  文字:桂運安

  攝影:陶冬青

  轉載自「中國科學技術大學」公眾號


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