黎曼ζ函式在數論中佔有重要地位，揭示了許多深刻的數學現象。一個令人著迷的問題是，它與一個看似簡單的幾何問題有著出人意料的聯絡：
假設你站在一個無限的網格平面上。你可以朝所有方向無限遠地看去，但你不能透視網格點：如果某個網格點位於你的視線中，則該點被遮擋。你能看到多少比例的網格點呢？
這是一個非常有趣的問題，它不依賴於起始位置。我需要稍微解釋一下這個問題，因為你可以看到無限多的點，也有無限多的點你看不到，那我們如何理解它們的比例呢？以及我們討論的「網格」是什麼意思呢？
關於網格，可以假設它們指的是整數點。這些點（x, y）位於平面上，其中x和y都是整數，可以（不失一般性）假設我們站在座標系的原點（0,0）。
解釋這個問題的最簡單方式是舉一個例子。所以假設你站在一個無限的網格上，並將你的位置設為原點（0, 0）。然後很明顯，點（9, 4）從原點可見，沒有其他點擋住視線。
另一方面，點（6, 2）是不可見的，因為點（3, 1）「擋在了路上」。
如果你仔細想想，你會發現這是因為這兩個點都位於穿過（0, 0）的一條線上。因此，其中一個點必須是另一個點的（標量）倍數。換句話說：這兩個座標必須有大於1的公共因子。
也就是說，如果兩個座標的最大公約數大於1，那麼該點從原點不可見。在數學術語中，我們寫作gcd(x, y) > 1。這個小分析使我們能夠稍微轉變一下問題。
讓我們在原點周圍畫一個邊長為2r的正方形，並計算正方形內可見的點數。然後將這個數目除以正方形內的總點數，得到每個這樣的數r的函式CP(r)。
我們可以清楚地定義C(r) = 正方形內互質數對的數量 / 正方形內的總點數。現在的問題是，隨著r趨近於無窮大，CP(r)的極限是多少？
讓我們建立一些Python程式碼來解決這個問題。
from tqdm import tqdm
import matplotlib.pyplot as plt
def is_coprime(x, y):
x, y = abs(x), abs(y)
for i in range(2, max(x, y) + 1):
if x % i == 0 and y % i == 0:
return False
return True
def CP(r):
visible = 0
for x in range(-r, r):
for y in range(-r, r):
if is_coprime(x, y):
visible += 1
return visible / (2*r)**2
r = 1000
print(f"The fraction of visible points with r = {r} is about: {round(CP(r), 5)}")
print("Tracking convergence")
history = <>
for i in tqdm(range(1, 300)):
history.append(CP(i))
plt.plot(range(1, len(history)+1), history)
plt.show()
如果執行這段程式碼，你會看到兩個輸出。首先，它會print：
r = 1000時，可見點的比例約為：0.60798
其次，會得到一個收斂圖的影像：
所以無論這個數字是多少，它都接近於0.6079。這個數字是對上述問題的一個近似答案，即當我們站在原點時，我們可以看到約60.79%的點。
透過稍微修改程式碼，可以得到一個象限內可見點的圖：
注意，在垂直線上的點越多，相應的數字就越「質數」，點越少就越是合數。你能根據這幅圖找出1到100之間的孿生素數嗎？
機率方法
讓我們從機率的角度來考慮這個問題。我們需要計算當r非常大時選擇一個可見點的機率。我們該如何計算呢？ 隨機選擇一個可見點或等效地選擇一個互質對P = (x, y)的機率與沒有任何素數同時整除x和y的機率相同。
在這種情況下，實際上更容易計算這個事件的互補事件，即
我們選擇的點不可見的機率是多少？
要使這種情況發生，我們需要一個質數同時整除x和y。質數p整除x的機率是1/p，因為在數軸上每隔p個數就有一個數能被p整除，質數p整除y的機率也是1/p。如果我們認為這些事件是獨立的，那麼p同時整除x和y的機率就是1/p²。
不同時整除x和y的機率是1-1/p²。由於這需要對所有素數都成立，因此沒有任何素數同時整除x和y，因此點（x, y）可見的機率由乘積給出：
這可以用更緊湊的符號寫成：
當展開這個乘積時，我們得到了一些形如1/m²的數的總和，但不是所有這樣的數。
具體來說，我們得到一系列上述形式的數字，其中m是無平方因子的，意味著沒有任何平方數可以整除m。等效地，m的質因數分解僅由不同的質陣列成。此外，這些數字的符號（正或負）由m的質因數的數量決定：如果m的質因數數量是奇數，那麼這個數字就是負數；如果質因數數量是偶數，則這個數字是正數。
這個函式被稱為默比烏斯函式，用μ表示。從上面我們可以看到：
所以這個序列開始於
如果取這6個數字並將它們相加，將得到大約0.606。
但這個特殊的數字到底是什麼？我們能找到一個封閉形式嗎？
恰好，這個表示式正好等於1/ζ(2)，其中ζ是黎曼ζ函式。幸運的是，尤拉證明了ζ(2) = π²/6。綜合這些資訊，我們得到可見點的比例確切地為
黎曼ζ函式定義為
當s > 1時，這個函式由尤拉在17世紀廣泛研究過。黎曼在一個世紀後研究了這個函式（黎曼ζ函式），但他是把它作為複數變數的函式來研究的，這樣的研究揭示了這個函式的真正魅力和強大之處。
尤拉找到了ζ函式的一個美麗的乘積公式，這基本上是算術基本定理的一個版本。他發現
#深度好文計劃#當s > 1時，如果我們將尤拉找到的ζ函式的乘積形式取倒數，並將s設定為2，就得到了1/ζ(2)的確切乘積表示式。
如果我們在三維空間中提出相同的問題會怎樣？
透過類似的論證，可以顯示，在三維網格中可見點的比例是1/ζ(3)。這個常數是數學中最神秘的數字之一！沒有人能找到它的封閉形式表達，誰如果找到了，將會世界聞名。
